P5662 纪念品

题目描述

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 T 天 N 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

  1. 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
  2. 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。

T 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 T 天卖出所有纪念品换回金币。

小伟现在有 M* 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。

输入格式

第一行包含三个正整数 T, N, M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 T，纪念品数量 N，小伟现在拥有的金币数量 M*。

接下来 T 行，每行包含 N 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 i 行的 N 个正整数分别为 P_{i,1}，P_{i,2},……,P{i,j} 表示第 i 天第 j 种纪念品的价格。

输出格式

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。

输入输出样例

输入 #1

1
2
3
4
5
6
7
6 1 100
50
20
25
20
25
50

输出 #1

1
305

输入 #2

1
2
3
4
3 3 100
10 20 15
15 17 13
15 25 16

输出 #2

1
217

考虑连续持有一件物品：

当日买入，未来第 x 天 卖出收益最大，考虑第二天：

  • 第二天（x=2）卖出，那么直接卖出即可

  • 第二天 (x>2) 之后卖出，第二天直接卖出的话收益为负，那么今天直接不买,第二天再买就好了

  • 同上，第二天卖出收益为正，但是第 x 天卖出收益更大，可以观察出，第二天卖出再买回来，和第二天不卖，第 x 天卖出收益是一样的。

    综上，只需要考虑临近两天的最大收益即可。

对于连续两天，设当日买入价格为 “空间” ， 第二日与今日收益为 “价值”，就是完全背包问题。

虽然一开始完全没想到背包…

1
2
3
4
5
6
7
fi(i,0,t){
	mem(f,0);
	fi(j,0,n)
		fi(k,a[j][i],m+1)
			f[k]=max(f[k],f[k-a[j][i]]+a[j][i+1]-a[j][i]);
	m = max(m,f[m]+m);
}